Die Zeit

Warum läuft die Zeit bei hoher Geschwindigkeit langsamer?
Ein Versuch, die Einsteinsche-Zeitdilatation auf einfache Weise zu erklären.

Vermutlich habt ihr schon davon gehört, dass die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c = 299 792 458 m/s in der Physik eine besondere Rolle spielt. Auch Radiowellen, Infrarot-, Ultraviolett-, Röntgen- und Gammastrahlen breiten sich im Vakuum mit Lichtgeschwindigkeit aus. Der berühmte Physiker Albert Einstein hat 1905 in seiner speziellen Relativitätstheorie ungewöhnliche Erscheinungen vorausgesagt, die bei Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit auftreten. Eine Folgerung aus Einsteins Theorie ist besonders verblüffend: “Wenn man sich beinahe mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, läuft die Zeit deutlich langsamer!”.

Grundlagen der speziellen Relativitätstheorie
Die Physik verwendet zur Beschreibung eines Vorgangs eine Zeitskala und ein räumliches Koordinatensystem (z.B. ein kartesisches Koordinatensystem mit drei zueinander senkrechten Achsen). Dabei kann der Zeitnullpunkt willkürlich festgelegt werden (z.B. auf Christi Geburt). Was das räumliche Koordinatensystem betrifft, so kann man den Ursprung und die Achsenrichtungen beliebig wählen. Außerdem ist es möglich, ein “bewegtes” Koordinatensystem zu verwenden, also etwa aus der Sicht eines Autos die Bewegung von Bäumen zu beschreiben. Wenn im folgenden von Koordinatensystemen oder Bezugssystemen die Rede ist, sind immer so genannte Inertialsysteme gemeint, das sind Bezugssysteme, in denen kräfte freie Körper gemäß dem Trägheitssatz in Ruhe bleiben oder sich mit konstanter Geschwindigkeit und Richtung bewegen. Ein typisches Beispiel für ein Inertialsystem ist das Bezugssystem eines antriebslosem fliegenden Raumschiffs, in dem sich die Astronauten im Zustand der Schwerelosigkeit befinden. In einem Nicht-Inertialsystem dagegen würden Trägheitskräfte wie beim plötzlichen Bremsen eines Autos oder Zentrifugalkräfte wie in der Looping-Achterbahn auftreten.

Die spezielle Relativitätstheorie befasst sich im wesentlichen mit der folgenden Frage: In wie weit können physikalische Größen in zueinander bewegten Koordinatensystemen verschiedene Werte besitzen? Für die Geschwindigkeit ist die Abhängigkeit vom Bezugssystem offensichtlich: Ist das verwendete Koordinatensystem beispielsweise mit einem parkenden Auto verbunden, so haben die Bäume am Straßenrand die Geschwindigkeit 0 km/h. Betrachtet man dieselben Bäume im Bezugssystem eines Fußgängers bzw. eines fahrenden Autos, so bewegen sich diese Bäume beispielsweise mit 5 km/h bzw. 100 km/h. Original Zitat von Einstein: “Wann hält Ulm an diesem Zug?”. Andererseits erscheint es dem “gesunden Menschenverstand” undenkbar, dass Länge, Zeit oder Masse vom verwendeten Koordinatensystem abhängen könnten. Albert Einstein hatte als erster die revolutionäre Idee, dass sich auch diese Größen mit dem Bezugssystem ändern könnten. Bei seinen Überlegungen ging Einstein von zwei Prinzipien aus, dem Relativitätsprinzip und dem Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit:

Relativitätsprinzip
In zwei verschiedenen Bezugssystemen, die sich gegeneinander gleichförmig, also mit konstanter Geschwindigkeit und gleichbleibender Bewegungsrichtung bewegen, haben die Naturgesetze die gleiche Form. Solche Bezugssysteme sind also gleichberechtigt. Dieses Relativitätsprinzip liegt bereits der klassischen (Newtonschen) Mechanik zugrunde. Als Beispiel sei der Versuch genannt, in einem Zugabteil (ohne Fenster, mit totaler Schallisolierung, perfekter Federung, absolut ebenem Gleis usw.) durch physikalische Messungen festzustellen, ob der Zug fährt oder wie hoch seine Geschwindigkeit ist. Schon nach der Newtonschen Mechanik ist dies unmöglich. Dagegen lässt sich eine Beschleunigung oder eine Kurvenfahrt des Zuges ohne weiteres erkennen, z.B. daran, dass sich ein Ball am Boden des Eisenbahnwagens in Bewegung setzt. Verwendet man in der Newtonschen Mechanik zwei verschiedene Bezugssysteme, die sich gleichförmig gegeneinander bewegen, so erhält man bei Geschwindigkeitsmessungen verschiedene, bei Beschleunigungsmessungen dagegen übereinstimmende Werte.

Wichtig für das Verständnis des Relativitätsprinzips ist, dass das Fehlen von äußeren Kräften (z.B. von Gravitationskräften) vorausgesetzt wird. So können verschiedene, gegeneinander bewegte Bezugssysteme auf der Erde im allgemeinen nicht als gleichberechtigt angesehen werden. Betrachtet man dagegen zwei Raketen, die in großer Entfernung vom nächsten Himmelskörper antriebslos aneinander vorbeifliegen, so sind die mit diesen Raketen verbundenen Koordinatensysteme gleichberechtigt. Jede der beiden Raketenbesatzungen kann z.B. behaupten, das eigene Raumschiff bewege sich mit 100 km/s, während die andere Rakete stillstehe. Ein weiterer Beobachter könnte beispielsweise mit gleichem Recht sagen, dass sich die erste Rakete mit 20 km/s in die eine Richtung und die zweite mit 80 km/s in die Entgegengesetzte Richtung bewege.

Folgerung
Bewegung ist ein relativer (d.h. vom verwendeten Bezugssystem abhängiger) Begriff. Es gibt keinen absoluten Raum! Das zweite für die spezielle Relativitätstheorie grundlegende Prinzip wurde von James Clerk Maxwell in seiner Theorie der Elektrodynamik (1861 bis 1864) vorausgesagt und von Albert Abraham Michelson 1881 experimentell bestätigt:

Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
Die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit “c” hat in jedem Bezugssystem den gleichen Wert. Dieses Prinzip hat überraschende Konsequenzen. Wenn sich ein Beobachter mit halber Schallgeschwindigkeit auf eine Schallquelle zu bewegt und die Geschwindigkeit des ankommenden Schalls in seinem Bezugssystem misst, erhält er das Eineinhalbfache des normalen Wertes. Dagegen hat für einen Beobachter, der mit halber Lichtgeschwindigkeit auf eine Lichtquelle zurast, die Geschwindigkeit des ankommenden Lichts in seinem Bezugssystem nur den normalen Wert.

Der Doppler-Effekt
Jeder hat schon beim Vorbeifahren eines Notarztwagens beobachtet, dass der Ton des Martinshorns in dem Moment, in dem der Wagen vorbeifährt, plötzlich tiefer wird. Diese Erscheinung wird als Doppler-Effekt (nach dem österreichischen Physiker Christian Doppler) bezeichnet und ist typisch für die Ausbreitung von Wellen, z.B. von Schall- oder Lichtwellen. Wie kommt dieser Effekt zustande?

Die Schallquelle sendet in einem bestimmten zeitlichen Abstand (z.B. 0,0020 s) Wellenfronten aus, die sich in alle Richtungen mit etwa 330 m/s ausbreiten. Bewegt sich die Schallquelle auf den Beobachter zu, so haben die später ausgesandten Wellenfronten einen kürzeren Weg zum Beobachter zurückzulegen und brauchen daher weniger Zeit, um zu diesem zu gelangen. Dadurch kommen die Wellenfronten in einem kürzeren Zeitabstand (beispielsweise 0,0018 s) beim Beobachter an. Dieses schnellere Aufeinanderfolgen der Wellenfronten empfinden wir als Erhöhung des Tons. Bewegt sich die Schallquelle vom Beobachter weg, so brauchen die später ausgesandten Wellenfronten aufgrund des längeren Weges mehr Zeit, bis sie beim Beobachter ankommen. Auf diese Weise wird der zeitliche Abstand der Wellenfronten erhöht (beispielsweise auf 0,0022 s). Wir nehmen in diesem Fall einen tieferen Ton wahr. In dem zuletzt genannten Zahlenbeispiel beträgt der Verlängerungsfaktor für den Zeitabstand der Wellenfronten k = 0,0022 s / 0,0020 s = 1,1.

Ein entsprechender Effekt kommt auch bei Lichtwellen vor. Nähert sich die Lichtquelle dem Beobachter, so kommen die Wellenfronten in kürzerem zeitlichem Abstand beim Beobachter an (Violettverschiebung). Im umgekehrten Fall stellt man eine Rotverschiebung fest. Ein berühmtes Beispiel ist die Rotverschiebung im Licht der Galaxien, die sich von unserer Milchstraße wegbewegen. Diese Rotverschiebung gilt als Beweis für die Urknalltheorie. Wenn die Geschwindigkeit der Lichtquelle relativ zum Beobachter ähnlich groß wird wie die Lichtgeschwindigkeit, kann sich der Doppler-Effekt extrem auswirken. Dies soll am folgenden Beispiel näher erläutert werden:

Beispiel 1 – Zeitabstand:
Im Jahr 2500 startet eine unbemannte Raumsonde mit der Geschwindigkeit v = 0,8 c (d.h. mit 0,8-facher Lichtgeschwindigkeit) zum weit entfernten Andromedanebel. Jedes Jahr sendet die Bodenstation auf der Erde ein Funksignal mit Lichtgeschwindigkeit zur Raumsonde. Jedes Mal bei der Ankunft eines solchen Signals registriert der Bordcomputer die Zeit (natürlich gemessen mit der Uhr der Raumsonde) und sendet zur Bestätigung ein Antwortsignal zur Erde. Von der Raumsonde aus betrachtet, verhält sich die Erde wie eine Licht- oder Schallquelle, die sich von der Sonde wegbewegt. Wir wissen bereits, dass die vom Bordcomputer aufgezeichneten Ankunftszeiten der Signale einen größeren zeitlichen Abstand haben müssen als ein Jahr.

Nun soll aber genau ausgerechnet werden, wie groß dieser zeitliche Abstand ist. Wir wollen also den Verlängerungsfaktor k für den Zeitabstand der Signale wissen. Die Ankunft der von der Erde kommenden Signale bzw. die Rücksendung der Antwortsignale erfolgt jeweils im Abstand von k Jahren. Dabei hängt die Größe k von der Geschwindigkeit v ab. Bisher wissen wir nur, dass k größer als 1 sein muss. Nach dem Relativitätsprinzip können wir den Vorgang genauso gut im Bezugssystem der Erde betrachten. Nachdem sich die Raumsonde mit v = 0,8 c von der Erde entfernt, kommen die Antwortsignale in größerem zeitlichem Abstand an, als sie von der Sonde ausgesandt wurden, genauer gesagt im k-fachen Abstand. Daher beträgt der zeitliche Abstand der von der Bodenstation registrierten Antwortsignale k · k Jahre = k2 Jahre. Aus dem Zeit-Weg-Diagramm (t-s-Diagramm) lässt sich dieser zeitliche Abstand jedoch direkt ablesen: Er beträgt genau 9 Jahre. Damit können wir die Größe von k angeben. Aus k2 = 9 folgt sofort k = 3.

Ergebnis von Beispiel 1 – Zeitabstand:
Wenn sich eine Signalquelle, die regelmäßig in einem bestimmten Zeitabstand Signale aussendet, mit der Geschwindigkeit v = 0,8 c vom Beobachter wegbewegt, so registriert der Beobachter die Signale in einem dreimal so großen zeitlichen Abstand. Entsprechend kann man sich überlegen, dass sich im Falle einer Signalquelle, die sich dem Beobachter mit v = 0,8 c nähert, der zeitliche Abstand der Einzelsignale auf ein Drittel des ursprünglichen Wertes verkürzt. Für einen anderen Geschwindigkeitswert v wäre selbstverständlich ein anderer Verlängerungsfaktor k herausgekommen. Mit ein wenig Mathematik lässt sich folgende Formel herleiten:

k … Verlängerungsfaktor für den zeitlichen Abstand der Signale
v … Geschwindigkeit der Signalquelle relativ zum Beobachter
c … Lichtgeschwindigkeit

Auch aus dieser Formel erhält man für v = 0,8 c das oben genannte Resultat:

Beispiel 2 – Zeitdilatation:
Am 1. Januar 3000 brechen einige Literaturinteressierte Astronauten von der Erde zu einem 4 Lichtjahre entfernten Planeten auf, um dort eine vogonische Dichterlesung (von Douglas Adams) zu genießen. Die Reisegeschwindigkeit beträgt v = 0,8 c, so dass Hin- und Rückflug je 5 Jahre Erdzeit (nicht Raumschiffzeit) dauern. Die Bodenstation auf der Erde sendet jeweils am 1. Januar der folgenden Jahre einen Neujahrsglückwunsch. Auch diese Signale unterliegen dem Doppler-Effekt.

Das folgende t-s-Diagramm zeigt die Bewegung des Raumschiffs und der Funksignale im Bezugssystem der Erde. Wie man sieht, erhält die Besatzung den Glückwunsch vom 1. Januar 3001 erst am Umkehrpunkt. Zunächst soll der Hinflug aus der Sicht der Raumschiffbesatzung betrachtet werden. Die Erde als Signalquelle entfernt sich mit v = 0,8 c, so dass ihre Glückwunschsignale nicht im Jahresabstand, sondern wegen des Doppler-Effekts (wie oben gezeigt) im Abstand von drei Jahren ankommen. Damit ist klar, dass die Raumschiffuhr im Umkehrpunkt den 1. Januar 3003 anzeigt. Aus der Sicht der Erde erfolgt die Umkehr aber am 1. Januar 3005 (siehe Diagramm).

Hier zeigt sich zum ersten Mal, dass die Zeitdauer eines Vorgangs in verschiedenen Bezugssystemen unterschiedlich sein kann. Auch der Rückflug soll im Bezugssystem des Raumschiffs betrachtet werden. Die Erde als Signalquelle nähert sich nun mit v = 0,8 c dem Raumschiff, so dass ihre Glückwunschsignale wieder nicht im Jahresabstand ankommen, sondern diesmal im Abstand von einem drittel Jahr. Nun muss man nur noch im Diagramm die Zahl der Dritteljahr-Intervalle ablesen: Es sind neun solche Zeitabschnitte; demnach dauert (wie nicht anders zu erwarten) der Rückflug nach Raumschiffzeit genauso lang wie der Hinflug, nämlich drei Jahre. Wir haben insgesamt gesehen, dass vom Start bis zur Rückkehr für die Astronauten nur sechs Jahre vergehen, für die Erdbewohner aber zehn Jahre. Der Fachbegriff für diese “Zeitdehnung” heißt Zeitdilatation.

Zeitdilatation, genauer betrachtet
Wir sind am Ende unserer Überlegungen angelangt, jedenfalls beinahe. Ein wichtiges Detail ist allerdings noch zu klären. In unserem letzten Beispiel geht die bewegte Uhr im Raumschiff langsamer als die Uhren auf der Erde. Andererseits wissen wir, dass Bewegung ein relativer Begriff ist. Wir können uns daher auch auf den Standpunkt stellen, dass das Raumschiff die ganze Zeit stillsteht und die Erde sich hin- und herbewegt. Ist das nicht ein Widerspruch? In Wirklichkeit sind die Bezugssysteme der Erde und des Raumschiffs nicht gleichberechtigt. Zum einen muss das Raumschiff bei der Umkehr stark beschleunigen. Das zugehörige Koordinatensystem ist folglich kein Inertialsystem. Außerdem wird eine einzelne Uhr im Raumschiff mit mehreren Uhren verglichen, die relativ zur Erde unbewegt sind, nämlich mit Uhren auf der Erde und am Reiseziel. Nach dieser Klarstellung sind wir nun in der Lage, unsere Erkenntnisse präzise formulieren:

Zeitdilatation
Eine Uhr “U”, die sich relativ zu einem Inertialsystem “S” bewegt, geht langsamer als die im System “S” ruhenden, synchronisierten Uhren. Selbstverständlich gibt es für die Zeitdilatation eine Formel. Sie lautet folgendermaßen:

t’ … von der bewegten Uhr U angezeigte Zeit
t … von den Uhren des Bezugssystems S angezeigte Zeit
v … Geschwindigkeit der Uhr U relativ zum Bezugssystem S
c … Lichtgeschwindigkeit

Die Anwendung dieser Formel auf den Hin- oder Rückflug des Raumschiffs bestätigt das Ergebnis unserer Überlegung anhand des t-s-Diagramms:

Der Zeitdilatation unterworfen sind nicht nur Uhren, sondern ganz allgemein sämtliche Prozesse wie etwa Atmung, Herzschlag, Bewegungen und Alterung. Die Astronauten spüren auf ihrem Raumflug bis zur Rückkehr nichts von der Zeitdilatation, da alle Vorgänge in gleicher Weise davon betroffen sind. Auch wenn wir die Zeitdilatation durch zwei Gedankenexperimente begründet haben, bleibt vielleicht doch ein wenig Misstrauen gegenüber dem Ergebnis. Zu sehr sind wir an die falsche Vorstellung einer absolut gültigen Zeit gewöhnt. Außerdem wäre es ja denkbar, dass an den Grundlagen unserer Überlegungen (Relativitätsprinzip und Konstanz der Lichtgeschwindigkeit) etwas nicht stimmt. Aus diesem Grund hat man versucht, die Zeitdilatation auch experimentell nachzuweisen.

Wenn die Partikel der kosmischen Strahlung auf die obersten Schichten der Erdatmosphäre treffen, entstehen dabei u.a. Myonen. Es handelt sich dabei um Elementarteilchen, die den Elektronen ähneln, aber im Durchschnitt nur eine sehr kurze Lebensdauer von 0,000 002 2 s haben. Obwohl sich diese Myonen fast mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, kämen sie ohne Zeitdilatation durchschnittlich gerade 660 m weit und würden dann zerfallen. Sie hätten also praktisch keine Chance, jemals die Erdoberfläche zu erreichen. In Wirklichkeit treffen aber Myonen in riesiger Anzahl auf die Erde – als Folge der Zeitdilatation! Auch auf direktere Weise konnte man die Zeitdilatation überprüfen. Besonders genau gehende Atomuhren wurden in Flugzeugen mitgenommen und vor und nach dem Flug mit anderen Atomuhren verglichen. Die Messungen ergaben genau die Abweichung, die man aufgrund der oben erwähnten Formel erwartet hatte.

In ferner Zukunft wird die Zeitdilatation vielleicht phantastische Möglichkeiten für interstellare Raumflüge eröffnen. Ein solcher Raumflug würde aber die Astronauten wie eine Zeitmaschine in die Zukunft führen , jedoch nicht mehr zurück! Ob sich die Raumfahrer allerdings noch zurechtfinden werden, wenn sie zu einem Planeten zurückkehren, auf dem seit ihrem Aufbruch Jahrhunderte oder Jahrtausende vergangen sind, das ist eine andere Frage.

Quellen:
Müller, Leitner, Dilg, Mràz: Physik Leistungskurs, 2. Semester (Ehrenwirth)
Povh, Rith, Scholz, Zetsche: Teilchen und Kerne (Springer)
Adams, Douglas: Per Anhalter durch die Galaxis (Ullstein)
Paul-Klee-Gymnasiums Gersthofen
Meyers Großes Universallexikon

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